Das Problem kenn ich auch, allerdings konnte ich dies beheben, daß ich den Cache von der HDD gelöscht habe. Unter Einstellungen -> Speicher findest du das. Danach sollte sie eigentlich funktionieren. Falls nicht, auch dies hatte ich schon, könnte die HDD einen Defekt haben. Habe mir über Amazon eine neue gekauft und seitdem läuft meine 360E wieder einwandfrei.
Also erstmal den Cache leeren/löschen und dann schauen, ob es daran lag. Falls nicht, neue HDD her. Bei einem Wärmeproblem schaltet die Konsole automatisch in den Stand By (bei den Modellen nach der Fat Lady).
Nachtrag:
Grad gelesen, daß du die HDD entfernt hattest. Benutzt du noch einen USB Stick o.ä. an der 360? Falls ja, entfernen oder auch dort den Cache leeren.